1977-1978

XXIX OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli w dowolnym czworościanie $h_1, h_2, h_3, h_4$ są długościami czterech wysokości, $d_1, d_2, d_3$ zaś odległościami trzech par prostych zawierających przeciwległe krawędzie, to

$ \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} + \frac{1}{h_3^2} + \frac{1}{h_4^2} = \frac{1}{d_1^2} + \frac{1}{d_2^2} + \frac{1}{d_3^2} $

XXIX OM - III - Zadanie 5

Dana jest liczba rzeczywista $a$ . Definiujemy ciąg $(a_n)$ w sposób następujący

$ a_1 = a, $

$ a_{n+1} = \begin{cases} \frac{1}{2}\left(a_n-\frac{1}{a_n}\right), & \mathrm{ jeżeli }a_n \neq 0, \\ 0, &\mathrm{ jeżeli } a_n = 0. \end{cases} $

Udowodnić, że ciąg $(a_n)$ ma nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych i nieskończenie wiele wyrazów niedodatnich.

Niech $X$ będzie zbiorem $n$ -elementowym. Udowodnić, że suma liczb elementów zbiorów $A \cap B$ rozciągnięta na wszystkie pary uporządkowane $(A, B)$ podzbiorów zbioru $X$ równa jest $n\cdot 4^{n-1}$ .

XXIX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli

$ x^{2m} \cdot P(x, y) + y^{2m} \cdot Q(x, y) = (x+y)^{2m} \cdot R(x, y), $

gdzie $m$ jest liczbą naturalną, $P, Q, R$ są wielomianami stopni mniejszych od $m$ , to każdy z tych wielomianów jest wielomianem zerowym.
Uwaga. Stopniem wielomianu niezerowego $W(x, y) = \sum a_{ij}x^iy_^j$ nazywamy maksymalną liczbę całkowitą $i + j$ , dla której $a_{ij}\neq 0$ . Za stopień wielomianu zerowego przyjmujemy liczbę 0.

XXIX OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są punkty o współrzędnych całkowitych, z których co najmniej jedna jest niepodzielna przez A. Dowieść, że punktów tych nie można tak połączyć w pary, aby odległość punktów każdej pary była równa 1; to znaczy nieskończonej szachownicy z wyciętymi polami o współrzędnych podzielnych przez 4 nie można pokryć kostkami domina.

XXIX OM - III - Zadanie 1

W danym kącie wypukłym na płaszczyźnie biegnie promień światła odbijając się od ramion kąta zgodnie z zasadą, że kąt padania równa się kątowi odbicia. Promień, który trafi w wierzchołek kąta, zostaje pochłonięty. Udowodnić, że istnieje taka liczba naturalna $n$ , że każdy promień może odbić się od ramion kąta co najwyżej $n$ razy.

XXIX OM - II - Zadanie 6

Dodaj komentarz

XXIX OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że nie istnieje taka równia pochyła, że każdy czworościan dowolnie przyłożony pewną ścianą do równi nie przewróci się. Znaczy to, co następuje. Dana jest płaszczyzna $\pi$ i prosta $l$ nie prostopadła do niej. Dowieść, że istnieje taki czworościan $T$ , że dla każdej jego ściany $S$ istnieje w płaszczyźnie $\pi$ trójkąt $ABC$ przystający do $S$ oraz istnieje taki punkt $D$ , że czworościan $ABCD$ przystaje do $T$ i prosta równoległa do $l$ przechodząca przez środek ciężkości czworościanu $ABCD$ nie przecina trójkąta $ABC$ .
Uwaga. Środkiem ciężkości czworościanu nazywamy punkt przecięcia odcinków łączących środki ciężkości ścian tego czworościanu z przeciwległymi wierzchołkami (wiadomo, że punkt taki zawsze istnieje).

XXIX OM - II - Zadanie 4

Spośród wierzchołków $2n$ -kąta foremnego wybrano losowo 3 różne punkty. Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwem zdarzenia, że trójkąt o wierzchołkach w wybranych punktach jest ostrokątny. Obliczyć $\lim_{n\to \infty} p_n$ .
Uwaga. Zakładamy, że wszystkie wybory trzech różnych punktów są jednakowo prawdopodobne.

XXIX OM - II - Zadanie 3

Dany jest taki ciąg liczb naturalnych $(a_i)$ , że dla każdej liczby naturalnej $n$ suma tych wyrazów ciągu, które są nie większe od $n$ , jest liczbą nie mniejszą od $n$ . Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $k$ można wybrać z ciągu $(a_i)$ ciąg skończony o sumie wyrazów równej $k$ .

Olimpiady Matematyczne