1973-1974

XXV OM - III - Zadanie 6

Podzielono $n$ -kąt wypukły przekątnymi na trójkąty w ten sposób, że
1° z każdego wierzchołka wychodzi parzysta liczba przekątnych,
2° żadne dwie przekątne nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
Udowodnić, że $n$ jest podzielne przez 3.

XXV OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $n$ , $r$ spełniają nierówność $r + 3 \leq n$ ,to liczby $\binom{n}{r}$ , $\binom{n}{r+1}$ , $\binom{n}{r+2}$ , $\binom{n}{r+3}$ nie są kolejnymi wyrazami żadnego ciągu arytmetycznego.

XXV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ i ciągu liczb rzeczywistych $a_1, a_2, \ldots, a_n$ istnieje liczba naturalna $k \leq n$ taka, że

$ \left| \sum_{i=1}^k a_i - \sum_{i=k+1}^n a_i \right| \leq \max_{1\leq i \leq n} |a_i| $

XXV OM - III - Zadanie 2

Łososie płynąc w górę rzeki muszą pokonać dwa wodospady. Prawdopodobieństwo, że łosoś pokona pierwszy wodospad w danej próbie, wynosi $p > 0$ , a prawdopodobieństwo pokonania drugiego wodospadu w danej próbie wynosi $q > 0$ . Zakładamy, że kolejne próby forsowania wodospadów są niezależne. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, ze łosoś nie przebędzie pierwszego wodospadu w $n$ próbach pod warunkiem, że w $n$ próbach nie pokona obu wodospadów.

XXV OM - III - Zadanie 1

W czworościanie $ABCD$ krawędź $\overline{AB}$ jest prostopadła do krawędzi $\overline{CD}$ i $\measuredangle ACB = \measuredangle ADB$ . Udowodnić, że płaszczyzna wyznaczona przez krawędź $\overline{AB}$ i środek krawędzi $\overline{CD}$ jest prostopadła do krawędzi $\overline{CD}$ .

XXV OM - II - Zadanie 6

Dany jest ciąg liczb całkowitych $a_1, a_2, \ldots, a_{2n+1}$ o następującej własności: po odrzuceniu dowolnego wyrazu pozostałe można podzielić na takie dwie grupy po $n$ wyrazów, że suma wyrazów w pierwszej grupie równa jest sumie wyrazów w drugiej. Dowieść, że wszystkie wyrazy ciągu są równe.

XXV OM - II - Zadanie 5

Dane są liczby rzeczywiste $q,t \in \langle \frac{1}{2}; 1)$ , $t \in (0; 1 \rangle$ . Udowodnić, że istnieje taki rosnący ciąg liczb naturalnych ${n_k}$ ( $k = 1,2, \ldots$ ), że

$ t = \lim_{N\to \infty} \sum_{j=1}^N q^{n_j}. $

XXV OM - II - Zadanie 4

W czworokącie wypukłym $ABCD$ o polu $S$ każdy z boków podzielono na 3 równe części i poprowadzono odcinki łączące odpowiednie punkty podziału przeciwległych boków w ten sposób, że czworokąt został podzielony na 9 czworokątów. Dowieść, że suma pól następujących trzech czworokątów powstałych z podziału: zawierającego wierzchołek $A$ , środkowego i zawierającego wierzchołek $C$ równa jest $\frac{S}{3}$ .

XXV OM - II - Zadanie 3

Udowodnić, że rzuty prostokątne wierzchołka $D$ czworościanu $ABCD$ na płaszczyzny dwusieczne kątów dwuściennych wewnętrznych i zewnętrznych przy krawędziach $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ należą do jednej płaszczyzny.