1971-1972

XXIII OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że suma cyfr liczby $1972^n$ dąży do nieskończoności, gdy $n$ dąży do nieskończoności.

XXIII OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że wszystkie podzbiory zbioru skończonego można ustawić w ciąg, którego kolejne wyrazy różnią się jednym elementem.

Na prostej nie mającej punktów wspólnych z kulą $K$ dane są punkty $A$ i $B$ . Rzut prostokątny $P$ środka kuli $K$ na prostą $AB$ lezy między punktami $A$ i $B$ , przy czym $AP$ i $BP$ są większe od promienia kuli. Rozpatrujemy zbiór $Z$ trójkątów $ABC$ , których boki $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ są styczne do kuli $K$ . Udowodnić, że $T$ jest trójkątem o największym obwodzie spośród trójkątów zbioru $Z$ wtedy i tylko wtedy, gdy $T$ jest trójkątem o największym polu spośród trójkątów zbioru $Z$ .

XXIII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że istnieje taki wielomian $P(x)$ o współczynnikach całkowitych, że dla wszystkich $x$ z przedziału $\langle \frac{1}{10}, \frac{9}{10}\rangle$ zachodzi nierówność

$<br /> \left| P(x) - \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{1000}<br />$

XXIII OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie danych jest $n > 2$ punktów, z których żadne trzy nie ją współliniowe. Udowodnić, że najkrótsza spośród łamanych zamkniętych przechodzących przez te punkty jest łamaną zwyczajną.