1969-1970

XXI OM - III -Zadanie 6

Znaleźć najmniejszą liczbę rzeczywistą $ A $ taką, że dla każdego trójmianu kwadratowego $ f(x) $ spełniającego warunek

\[<br /> (1) \qquad |f(x)| \leq 1 \quad \text{dla}\quad 0 \leq x \leq 1<br /> \]

zachodzi nierówność $ f'(0) \leq A $.

XXI OM - III -Zadanie 5

Na ile sposobów zbiór złożony z dwunastu elementów można podzielić na sześć rozłączonych zbiorów dwuelementowych?

XXI OM - III -Zadanie 4

Na płaszczyźnie danych jest $ n $ prostokątów o bokach odpowiednio równoległych do dwóch danych prostych prostopadłych. Udowodnić, że jeżeli każde dwa z tych prostokątów mają co najmniej jeden punkt wspólny, to istnieje punkt należący do wszystkich prostokątów.

XXI OM - III -Zadanie 3

Udowodnić, że $ n > 1 $ jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego naturalnego $ k $, takiego że $ 1 \leq k \leq n - 1 $, współczynnik dwumianowy

\[<br /> \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}<br /> \]

dzieli się przez $ n $.

XXI OM - III -Zadanie 2

Dane są trzy ciągi nieskończone, których elementami są liczby naturalne:

\[<br /> \begin{split}<br /> a_1, a_2, \ldots, \\<br /> b_1, b_2, \ldots, \\<br /> c_1, c_2, \ldots,<br /> \end{split}<br /> \]

przy czym jeżeli $ i \neq j $, to $ a_i \neq a_j $, $ b_i \neq b_j $, $ c_i \neq c_j $.
Udowodnić, że istnieje para wskaźników $ k, l $ taka, że $ k < l $ i $ a_k < a_l $, $ b_k < b_l $, $ c_k < c_l $.

XXI OM - III -Zadanie 1

Średnica $ \overline{AB} $ dzieli okrąg na dwa półokręgi. Na jednym półokręgu obrano n punktów $ P_1 P_2, \ldots, P_n $ tak, że $ P_1 $ leży między $ A $ i $ P_2 $, $ P_2 $ leży między $ P_1 $ i $ P_3 $, $ \ldots $, $ P_n $ leży między $ P_{n-1} $ i $ B $. Jak należy wybrać punkt $ C $ na drugim półokręgu, aby suma pól trójkątów $ CP_1P_2, CP_2P_3, CP_3P_4, \ldots, CP_{n-1}P_n $ była największa?

XXI OM - II -Zadanie 6

Jeśli $ A $ jest podzbiorem zbioru $ X $, to przyjmujemy $ A^1 = A $, $ A^{-1} = X - A $. Podzbiory $ A_1, A_2, \ldots, A_k $ nazywamy wzajemnie niezależnymi, jeśli iloczyn $ A_1^{\varepsilon_1} \cap A_2^{\varepsilon_2} \ldots A_k^{\varepsilon_k} $ jest niepusty dla każdego układu liczb $ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_k $, takiego, że $ |\varepsilon_2| = 1 $ dla $ i = 1, 2, \ldots, k $.
Jaka jest maksymalna liczba wzajemnie niezależnych podzbiorów zbioru $ 2^n $-elementowego?

XXI OM - II -Zadanie 5

Dany jest wielomian $ P(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x^2 $. Niech $ Q(x) = \sum_{k=0}^{m} b_k x^k $ będzie wielomianem określonym wzorem

\[<br /> Q(x) = P(x) \cdot P(x^3) \cdot P(x^9) \cdot P(x^{27}) \cdot P(x^{81}).<br /> \]

Obliczyć $ \sum_{k=0}^m |b_k| $.

XXI OM - II -Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli trójkąt $ T_1 $ zawiera trójkąt $ T_2 $, to obwód trójkąta $ T_1 $ jest nie mniejszy od obwodu trójkąta $ T_2 $.

XXI OM - II -Zadanie 3

Udowodnić twierdzenie: Nie istnieje taka liczba naturalna $ n > 1 $, że liczba $ 2^n - 1 $ dzieli się przez $ n $.

Subskrybuje zawartość