1967-1968

XIX OM - III - Zadanie 6

Dany jest zbiór $n > 3$ punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe, oraz liczba naturalna $k < n$ . Udowodnić twierdzenia:
1. Jeżeli $k \leq \frac{n}{2}$ , to każdy punkt danego zbioru można połączyć z co najmniej $k$ innymi punktami zbioru w taki sposób, że wśród poprowadzonych odcinków nie ma trzech boków tego samego trójkąta.
2. Jeżeli $k > \frac{n}{2}$ i każdy punkt danego zbioru jest połączony z $k$ innymi punktami zbioru, to wśród poprowadzonych odcinków są trzy boki tego samego trójkąta.

XIX OM - III - Zadanie 5

Na płaszczyźnie leży $n$ punktów ( $n \geq 4$ ), z których każde cztery są wierzchołkami czworokąta wypukłego. Dowieść, że wszystkie te punkty są wierzchołkami wielokąta wypukłego.

XIX OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba naturalna $n>2$ . Podać taki zbiór $n$ liczb naturalnych $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , żeby w zbiorze sum

$<br /> a_i + a_j \quad (i = 1,2, \ldots,n, \quad j= 1,2, \ldots,n, \; i\neq j)<br />$

było możliwie najmniej liczb różnych oraz taki zbiór $n$ liczb naturalnych $b_1, b_2, \ldots, b_n$ , żeby w zbiorze sum

$<br /> b_i + b_j \quad (i = 1,2, \ldots,n, \quad j= 1,2, \ldots,n, \; i\neq j)<br />$

było możliwie najwięcej liczb różnych.

XIX OM - III - Zadanie 3

W czworościanie $ABCD$ krawędzie $AD$ , $BD$ , $CD$ są równe. Na płaszczyźnie $ABC$ obrano punkty niewspółliniowe $A_1, B_1, C_1$ Proste $DA_1, DB_1, DC_1$ przecinają powierzchnię kuli opisanej na czworościanie odpowiednio w punktach $A_2, B_2, C_2$ , różnych od punktu $D$ . Udowodnić, że punkty $A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2$ leżą na powierzchni pewnej kuli.