1958-1959

X OM - III - Zadanie 6

Dany jest trójkąt, w którym boki $a$ , $b$ , $c$ tworzą postęp arytmetyczny, a kąty tworzą też postęp arytmetyczny. Znaleźć stosunki boków tego trójkąta.

X OM - III - Zadanie 5

W płaszczyźnie trójkąta $ABC$ porusza się prosta, która przecina boki $AC$ i $BC$ w takich punktach $D$ i $E$ , że $AD = BE$ . Znaleźć miejsce geometryczne środka $M$ odcinka $DE$ .

X OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równanie kwadratowe

$ (1) \qquad ax^2 + bx + c = 0 $

o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny, to co najmniej jedna z liczb $a$ , $b$ , $c$ jest parzysta.

X OM - III - Zadanie 3

Dany jest ostrosłup o podstawie kwadratowej $ABCD$ i o wierzchołku $S$ . Znaleźć najkrótszą drogę, której początkiem i końcem jest punkt $S$ i która przechodzi przez wszystkie wierzchołki podstawy.

W trójkącie równobocznym $ABC$ obrano punkt $O$ i opuszczono prostopadle $OM$ , $ON$ , $OP$ odpowiednio na boki $BC$ , $CA$ , $AB$ . Dowieść, że suma odcinków $AP$ , $BM$ , $CN$ nie zależy od położenia punktu $O$ .

X OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że dla dowolnych liczb $a$ i $b$ zachodzi nierówność

$ (1) \qquad \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a^2+b^2}{2} \cdot \frac{a^3+b^3}{2} \leq \frac{a^6+b^6}{2}. $

X OM - II - Zadanie 6

Z punktu $M$ powierzchni kuli poprowadzono trzy wzajemnie prostopadłe cięciwy kuli $MA$ , $MB$ , $MC$ . Dowieść, że odcinek łączący punkt $M$ ze środkiem kuli przecina płaszczyznę trójkąta $ABC$ w środku ciężkości tego trójkąta.

X OM - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie, umieszczono $n \geq 3$ odcinków w ten sposób, że każde $3$ z nich mają punkt wspólny. Dowieść, że istnieje punkt wspólny wszystkich odcinków.