1955-1956

VII OM - III - Zadanie 6

Dana jest kula o promieniu $R$ i płaszczyzna $\alpha$ nie mająca z tą kulą punktów wspólnych. Po płaszczyźnie $\alpha$ porusza się punkt $S$ , który jest wierzchołkiem stożka stycznego do kuli wzdłuż okręgu o środku $C$ . Znaleźć miejsce geometryczne punktu $C$ .

VII OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że każdy wielokąt o obwodzie równym $2a$ można nakryć krążkiem o średnicy równej $a$ .

VII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $a$ , $b$ , $c$ spełniają równanie

$ (1) \qquad a^2 + b^2 = c^2, $

to:

1° co najmniej jedna z liczb $a$ i $b$ jest podzielna przez $3$ ,

2° co najmniej jedna z liczb $a$ i $b$ jest podzielna przez $4$ ,

3° co najmniej jedna z liczb $a$ , $b$ , $c$ jest podzielna przez $5$ .

VII OM - III - Zadanie 3

Na prostej dane są trzy różne punkty $M$ , $D$ , $H$ . Zbudować trójkąt prostokątny, dla którego $M$ jest środkiem przeciwprostokątnej, $D$ - punktem przecięcia dwusiecznej kąta prostego z przeciwprostokątną, a $H$ - spodkiem wysokości na przeciwprostokątną.

VII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli

$ (1) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c} $

oraz $n$ jest dowolną liczbą naturalną nieparzystą, to

$ (2) \qquad \frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n + b^n + c^n} $

VII OM - III - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{array}{l} x^2y^2 + x^2z^2 = axyz\\ y^2z^2 + y^2x^2 = bxyz\\ z^2x^2 + z^2y^2 = cxyz. \end{array} $

VII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ABCD$ odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe przecinają się w jednym punkcie, to

$ (1) \qquad AB \cdot CD = AC \cdot BD = AD \cdot BC $

i że zachodzi również twierdzenie odwrotne.

VII OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że liczby $A$ , $B$ , $C$ określone wzorami

$ A = \tg \beta \tg \gamma + 5,\ B = \tg \gamma \tg \alpha + 5,\ C = \tg \alpha \tg \beta + 5, $

gdzie $\alpha>0$ , $\beta > 0$ , $\gamma > 0$ i $\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ$ , spełniają nierówność

$ (1) \qquad \sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C} < 4 \sqrt{3}. $

VII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że równanie $2x^2 - 215y^2 = 1$ nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

VII OM - II - Zadanie 3

Jednorodna pozioma płyta o ciężarze $Q$ kG mająca kształt koła jest podparta w punktach $A$ , $B$ , $C$ leżących na obwodzie płyty, przy czym $AC = BC$ i $ACB = 2\alpha$ . Jaki ciężar $x$ kG należy umieścić na płycie w drugim końcu $D$ średnicy poprowadzonej z punktu $C$ , aby nacisk płyty na podporę w $C$ G był równy zeru?

Olimpiady Matematyczne