2000-2009

LI OM - III - Zadanie 6

Stopień wielomianu $P(x)$ o współczynnikach rzeczywistych jest nieparzysty. Ponadto dla każdego $x$

$ P (x^2 - 1)= (P (x))^2 - 1. $

Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość

$ P(x) = x. $

Dla danej liczby naturalnej $n \geq 2$ znaleźć najmniejszą liczbę $k$ o następującej własności. Z dowolnego $k$ -elementowego zbioru pól szachownicy $n \times n$ , można wybrać taki niepusty podzbiór, że liczba pól tego podzbioru w każdym wierszu i w każdej kolumnie szachownicy jest parzysta.

LI OM - III - Zadanie 4

W ostrosłupie prawidłowym o wierzchołku $S$ i podstawie $A_1A_2\ldots A_n$ każda krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $60^\circ$ . Dla każdej liczby naturalnej $n \geq 3$ rozstrzygnąć, czy można wybrać takie punkty $B_2,B_3,\ldots,B_n$ leżące odpowiednio na krawędziach $A_2S, A_3S,\ldots,A_nS$ , że

$ A_1B_2 + B_2B_3 + B_3B_4 +\ldots + B_{n-1}B_n + B_nA_1 < 2A_1S. $

LI OM - III - Zadanie 2

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $AC = BC$ . Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ , przy czym $\measuredangle PAB = \measuredangle PBC$ . Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$ . Dowieść, że

$ \measuredangle APM + \measuredangle BPC =180^\circ. $

LI OM - III - Zadanie 1

Dana jest liczba całkowita $n \geq 2$ .

Wyznaczyć liczbę rozwiązań $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ układu równań

$ \left\{\begin{array}{c} x_{2}+x_{1}^{2}=4x_{1}\\ x_{3}+x_{2}^{2}=4x_{2}\\ x_{4}+x_{3}^{2}=4x_{3}\\ \vdots\\ x_{n}+x_{n-1}^{2}=4x_{n-1}\\ x_{1}+x_{n}^{2}=4x_{n} \end{array}\right. $

w liczbach rzeczywistych nieujemnych.

LI OM - II - Zadanie 6

Wielomian $w(x)$ stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla całkowitych $x$ wartości będące kwadratami liczb całkowitych. Dowieść, że wielomian $w(x)$ jest kwadratem pewnego wielomianu.

LI OM - II - Zadanie 5

Niech $\mathbb{N}$ oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich. Rozstrzygnąć, czy istnieje taka funkcja $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ , że dla każdego $n\in \mathbb{N}$ zachodzi równość $f(f(n)) =2n$ .

LI OM - II - Zadanie 4

Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ , w którym $AB \neq AC$ . Proste $BI$ i $CI$ przecinają boki $AC$ i $AB$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Wyznaczyć wszystkie miary kąta $BAC$ , dla których może zachodzić równość $DI = EI$ .

LI OM - II - Zadanie 3

Na polach szachownicy $n \times n$ rozmieszczono $n^2$ różnych liczb całkowitych, po jednej na każdym polu. W każdej kolumnie pole z największą liczbą pomalowano na czerwono. Zbiór $n$ pól szachownicy nazwiemy dopuszczalnym, jeżeli żadne dwa z tych pól nie znajdują się w tym samym wierszu, ani w tej samej kolumnie. Spośród wszystkich zbiorów dopuszczalnych wybrano zbiór, dla którego suma liczb umieszczonych na jego polach jest największa.

Wykazać, że w tak wybranym zbiorze jest czerwone pole.

LI OM - II - Zadanie 2

Dwusieczna kąta $BAC$ trójkąta $ABC$ przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie $D$ różnym od $A$ . Punkty $K$ i $L$ są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów $B$ i $C$ na prostą $AD$ . Dowieść, że