XVIII ZMPB - Zadanie 3

Niech $ F $, $ G $, $ H $ będą takimi wielomianami stopnia co najwyżej $ 2n+1 $ o współczynnikach rzeczywistych, że:

  1. Dla wszystkich liczb rzeczywistych $ x $ mamy

    \[<br /> F(x)\le G(x)\le H(x).<br /> \]

  2. Istnieją takie różne liczby rzeczywiste $ x_1 $, $ x_2 $, $ \ldots $, $ x_n $, że

    \[<br /> F(x_i)=H(x_i)\qquad\hbox{dla }i=1,2,\ldots,n.<br /> \]

  3. Istnieje liczba rzeczywista $ x_0 $ różna od $ x_1 $, $ x_2 $, $ \ldots $, $ x_n $, dla której

    \[<br /> F(x_0)+H(x_0)=2G(x_0).<br /> \]

Dowieść, że

\[<br /> F(x)+H(x)=2G(x)<br /> \]

dla wszystkich liczb rzeczywistych $ x $.

Rozwiązanie

Rozpatrzmy wielomiany $ P $ i $ Q $ określone wzorami

\[<br /> P(x)=G(x)-F(x), \qquad Q(x)=H(x)-F(x).<br /> \]

Są to wielomiany stopnia co najwyżej $ 2n+1 $. Na mocy warunku (1) mamy

\[<br /> Q(x)\ge P(x)\ge 0<br /> \]

dla każdej liczby rzeczywistej $ x $. Z kolei warunek (2) implikuje, że

\[<br /> Q(x_i)=P(x_i)=0 \qquad\hbox{dla }i=1,2,\ldots,n.<br /> \]

Ponieważ wielomiany $ P $ i $ Q $ przybierają tylko wartości nieujemne, więc liczby $ x_1 $, $ x_2 $, $ \ldots $, $ x_n $ są pierwiastkami tych wielomianów o krotności co najmniej $ 2 $. Wobec tego wielomiany te są podzielne przez wielomian

\[<br /> R(x)=(x-x_1)^2(x-x_2)^2\ldots(x-x_n)^2.<br /> \]

Ponadto ilorazy $ P(x)/ R(x) $ i $ Q(x)/ R(x) $ są wielomianami przyjmującymi tylko wartości nieujemne. Z drugiej strony, stopnie wielomianów $ P $ i $ Q $ nie przekraczają $ 2n+1 $, zaś $ R $ jest wielomianem stopnia $ 2n $. Wynika stąd, że ilorazy $ P(x)/ R(x) $ i $ Q(x)/ R(x) $ są wielomianami stopnia co najwyżej $ 1 $ przyjmującymi tylko wartości nieujemne. Są to więc wielomiany stałe.

Udowodniliśmy zatem istnienie takich liczb rzeczywistych $ a $ i $ b $, że

\[<br /> P(x)=aR(x), \qquad Q(x)=bR(x)<br /> \]

dla wszystkich liczb rzeczywistych $ x $. Korzystając z warunku (3) dostajemy

\[<br /> bR(x_0)=Q(x_0)=H(x_0)-F(x_0)=2G(x_0)-2F(x_0)=2P(x_0)=2aR(x_0).<br /> \]

Liczba $ x_0 $ jest różna od każdej z liczb $ x_1 $, $ x_2 $, $ \ldots $, $ x_n $, nie jest więc pierwiastkiem wielomianu $ R $. Wobec tego z powyższej równości wynika, że $ b=2a $ i w konsekwencji dla dowolnej liczby rzeczywistej $ x $ otrzymujemy

\[<br /> F(x)+H(x)-2G(x)=Q(x)-2P(x)=(b-2a)R(x)=0,<br /> \]

co kończy rozwiązanie zadania.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź