XVIII ZMPB - Zadanie 5

Funkcja $ f $, określona na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $ 0 $, przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste różne od $ 1 $. Ponadto

\[<br /> f(xy)=f(x)f(-y)-f(x)+f(y)<br /> \]

dla dowolnych $ x,y\ne 0 $, oraz

\[<br /> f(f(x))={1\over f({1\over x})}<br /> \]

dla każdego $ x\not\in\{0,1\} $. Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $ f $.

Rozwiązanie

W pierwszym równaniu danym w treści zadania przyjmujemy $ y=1 $. Otrzymujemy

\[<br /> f(x)=f(x)f(-1)-f(x)+f(1),\quad\hbox{czyli}\quad f(x)\cdot (2-f(-1))=f(1)<br /> \]

dla każdej liczby rzeczywistej $ x\ne 0 $. Z założenia funkcja $ f $ nie jest stała, więc wynika stąd, że $ f(1)=0 $ oraz $ f(-1)=2 $. Następnie podstawiamy w pierwszym równaniu $ y=-1 $ i obliczamy, że

\[<br /> (1) \qquad f(-x)=f(x)f(1)-f(x)+f(-1)=2-f(x).<br /> \]

Oznaczmy

\[<br /> g(x)=1-f(x)<br /> \]

dla każdej liczby rzeczywistej $ x\ne 0 $. Równość (1) przepisujemy teraz w postaci

\[<br /> g(-x)=1-f(-x)=1-(2-f(x))=-(1-f(x))=-g(x).<br /> \]

To oznacza, że funkcja $ g $ jest nieparzysta.

Przekształcamy teraz pierwsze równanie z treści zadania:

\[<br /> \begin{split}<br /> g(xy)&=1-f(xy)=1-f(x)f(-y)+f(x)-f(y)=\\<br /> &=1-(1-g(x))(1-g(-y))+(1-g(x))-(1-g(y))=\\<br /> &=1-1+g(x)+g(-y)-g(x)g(-y)+1-g(x)-1+g(y)=\\<br /> &=g(x)g(y).<br /> \end{split}<br /> \]

Podstawiając $ y=1/x $ w powyższej zależności stwierdzamy, że

\[<br /> (2) \qquad<br /> g\Bigl({1\over x}\Bigr)={1\over g(x)}.<br /> \]

dla każdej liczby rzeczywistej $ x\ne 0 $. Wykorzystując teraz drugie równanie w treści zadania oraz zależność (2) obliczamy, że

\[<br /> 1-g(1-g(x))=1-g(f(x))=f(f(x))={1\over f(\xfrac{1}{x})}= {1\over 1-g(\xfrac{1}{x})}={1\over 1-{1\over g(x)}}<br /> \]

i w efekcie

\[<br /> (3) \qquad g(f(x))=g(1-g(x))=1-{1\over 1-{1\over g(x)}}={1\over 1-g(x)}= {1\over f(x)}.<br /> \]

Funkcja $ f $ przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste z wyjątkiem $ 1 $, więc równość (3) oznacza, że

\[<br /> g(y)={1\over y}\quad\hbox{dla }y\ne 0,1,\qquad\hbox{czyli}\qquad f(x)=1-{1\over x}\quad\hbox{dla }x\ne 0,1.<br /> \]

Przy tym wyznaczona wcześniej wartość $ f(1)=0 $ również wynika z powyższego wzoru.

Bezpośrednio sprawdzamy, że taka funkcja $ f $ spełnia warunki zadania.

Odpowiedź: Jedyną funkcją o żądanych własnościach jest $ f(x)=1-{1\over x} $.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź