XVIII ZMPB - Zadanie 11

W trójkącie $ ABC $ odcinki $ AD $, $ BE $ i $ CF $ są wysokościami. Punkty $ P $, $ Q $, $ R $ i $ S $ spełniają następujące warunki:

  1. $ P $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $.

  2. Długości odcinków $ PQ $, $ QR $ i $ RS $ są równe promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $.

  3. Odcinek zorientowany $ PQ $ ma ten sam kierunek i zwrot, co odcinek zorientowany $ AD $. Podobnie, odcinek $ QR $ ma ten sam kierunek i zwrot, co $ BE $, zaś odcinek $ RS $ ma ten sam kierunek i zwrot, co $ CF $.

Wykazać, że punkt $ S $ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $.

Rozwiązanie

Punkt $ P $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, a długość odcinka $ PQ $ jest równa promieniowi tego okręgu. Zatem punkt $ Q $ leży na tym okręgu. Ponadto $ PB=PC $ oraz prosta $ PQ $ jest prostopadła do boku $ BC $. Jest ona więc jego symetralną, a to oznacza, że punkt $ Q $ jest środkiem łuku $ BC $ okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $ nie zawierającego punktu $ A $ (rys. 4). Wynika stąd, że punkt $ Q $ leży na dwusiecznej kąta $ \measuredangle CAB $.

zmpb18_r_img_4.jpg

Udowodnimy, że punkt $ S $ również leży na dwusiecznej kąta $ \measuredangle CAB $. W tym celu wystarczy wykazać, że prosta $ QS $ jest równoległa do dwusiecznej tego kąta. Trójkąt $ QRS $ jest równoramienny, więc stwierdzenie to sprowadza się do wykazania, że dwusieczne kątów $ \measuredangle QRS $ i $ \measuredangle CAB $ są prostopadłe. To zaś bezpośrednio wynika z faktu, że ramiona tych kątów są prostopadłe ($ QR\perp CA $ oraz $ RS\perp AB $).

Wykażemy jeszcze, że punkt $ S $ leży także na dwusiecznej kąta $ \measuredangle ABC $. Stąd otrzymamy, że punkt $ S $ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $.

Niech $ T $ będzie takim punktem płaszczyzny, że czworokąt $ PQRT $ jest równoległobokiem. Wówczas $ PT\parallel QR\parallel BE $ oraz $ TR\parallel PQ\parallel AD $ (równoległości te traktujemy jako równości kierunków i zwrotów odpowiednich odcinków skierowanych). Zatem odcinki skierowane $ PT $, $ TR $, $ RS $, których długości są równe promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, mają odpowiednio te same kierunki i zwroty, co odcinki skierowane $ BE $, $ AD $, $ CF $. Rozumując analogicznie jak w początkowej części rozwiązania dostajemy stąd, że punkt $ S $ leży na dwusiecznej kąta $ \measuredangle ABC $, a tego dowodziliśmy.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź