XVIII ZMPB - Zadanie 13

Niech $ t_1 $, $ t_2 $, $ \ldots $, $ t_k $ będą różnymi prostymi w przestrzeni ($ k>1 $). Udowodnić, że istnieją takie punkty $ P_i $ na $ t_i $ ($ i=1,2,\ldots,k $), że $ P_{i+1} $ jest rzutem prostokątnym $ P_i $ na prostą $ t_{i+1} $ ($ i=1,2,\ldots,k-1 $), a $ P_1 $ jest rzutem prostokątnym $ P_k $ na prostą $ t_1 $.}

Rozwiązanie

Niech $ \pi_1 $ będzie odwzorowaniem o dziedzinie $ t_1 $ i przeciwdziedzinie $ t_2 $, które dowolnemu punktowi $ P\in t_1 $ przyporządkowuje punkt $ \pi_1(P)\in t_2 $ będący rzutem prostokątnym punktu $ P $ na prostą $ t_2 $. Analogicznie określamy odwzorowania $ \pi_2:t_2\to t_3 $, $ \pi_3:t_3\to t_4 $, $ \ldots $, $ \pi_k:t_k\to t_1 $.

Przy tych oznaczeniach tezę zadania można sformułować następująco: istnieją takie punkty $ P_1 $, $ P_2 $, $ \ldots $, $ P_k $ leżące odpowiednio na $ t_1 $, $ t_2 $, $ \ldots $, $ t_k $, że

\[<br /> \pi_1(P_1)=P_2,\quad \pi_2(P_2)=P_3,\quad\ldots\quad \pi_k(P_k)=P_1. (1) \qquad<br /> \]

Niech $ \pi $ oznacza złożenie $ \pi_k\circ\pi_{k-1}\circ\ldots\circ \pi_2\circ\pi_1 $. Zatem $ \pi $ jest odwzorowaniem $ \pi:t_1\to t_1 $. Wykażemy, że odwzorowanie $ \pi $ ma punkt stały, czyli że istnieje punkt $ P_1\in t_1 $, dla którego zachodzi równość $ \pi(P_1)=P_1 $.

Wprowadźmy na każdej prostej $ t_i $ ($ i=1,2,\ldots,k $) strukturę osi liczbowej w taki sposób, by na każdej z tych prostych punkty $ 0 $ i $ 1 $ były punktami przestrzeni odległymi od siebie o $ 1 $. Zatem punktom każdej z prostych $ t_1 $ i $ t_2 $ odpowiadają wzajemnie jednoznacznie wszystkie liczby rzeczywiste; w języku tych liczb odwzorowanie $ \pi_2 $ można opisać wzorem $ x\mapsto ax+b $, gdzie współczynnik $ a $ jest cosinusem kąta pomiędzy wektorem zawartym w prostej $ t_1 $ o początku $ 0 $ i końcu $ 1 $ a wektorem zawartym w prostej $ t_2 $ o początku $ 0 $ i końcu $ 1 $. Wynika stąd, że $ |a|\le 1 $, przy czym równość $ |a|=1 $ oznacza, że proste $ t_1 $ i $ t_2 $ są równoległe.

Rozpatrując analogicznie pozostałe odwzorowania $ \pi_2 $, $ \pi_3 $, $ \ldots $, $ \pi_k $ oraz zauważając, że złożenie przekształceń postaci $ x\to ax+b $ jest również przekształceniem tej postaci, przy czym odpowiednie współczynniki $ a $ mnożą się, dochodzimy do wniosku, że odwzorowanie $ \pi:t_1\to t_1 $ daje się opisać wzorem $ x\to Ax+B $. Przy tym $ |A|\le 1 $, a równość $ A=1 $ jest możliwa tylko w przypadku, gdy wszystkie proste $ t_1 $, $ t_2 $, $ \ldots $, $ t_k $ są równoległe.

Przypuśćmy, że $ A=1 $, czyli proste $ t_1 $, $ t_2 $, $ \ldots $, $ t_k $ są równoległe. Wybierzmy dowolny punkt $ P\in t_1 $ i rozważmy jego rzut prostokątny $ P' $ na prostą $ t_2 $. Punkty $ P $ i $ P' $ leżą wówczas na jednej płaszczyźnie prostopadłej do prostych $ t_1 $, $ t_2 $. Ponadto punkt $ P'' $ będący rzutem prostokątnym punktu $ P' $ na prostą $ t_3 $ leży na tej płaszczyźnie, rzut prostokątny punktu $ P'' $ na prostą $ t_4 $ leży w tej płaszczyźnie itd.; to zaś oznacza, że $ \pi $ jest odwzorowaniem stałym.

Jeżeli natomiast $ A\ne 1 $, to równanie $ x=Ax+B $ ma dokładnie jedno rozwiązanie, mianowicie liczbę $ x=B/(1-A) $. Punkt $ P_1 $ odpowiadający tej liczbie na prostej $ t_1 $ jest wówczas punktem stałym odwzorowania $ \pi $.

Zatem odwzorowanie $ \pi:t_1\to t_1 $ ma punkt stały $ P_1 $. Określmy

\[<br /> P_2=\pi_1(P_1),\quad P_3=\pi_2(P_2),\quad\ldots,\quad P_k=\pi_{k-1}(P_{k-1});<br /> \]

by sprawdzić, że wszystkie równości (1) są spełnione, brakuje tylko zależności $ P_1=\pi_k(P_k) $. Jest ona jednak prawdziwa, gdyż

\[<br /> \begin{split}<br /> \pi_k(P_k)&=\pi_k(\pi_{k-1}(P_{k-1}))=\ldots=<br /> \pi_k(\pi_{k-1}(\ldots \pi_2(\pi_1(P_1))\ldots))=\cr<br /> &=(\pi_k\circ\ldots\circ\pi_2\circ\pi_1)(P_1)=\pi(P_1)=P_1.<br /> \end{split}<br /> \]

To kończy rozwiązanie.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź