XVIII ZMPB - Zadanie 16

Niech $ a $ i $ b $ będą takimi liczbami wymiernymi, że

\[<br /> s=a+b=a^2+b^2.<br /> \]

Wykazać, że liczbę $ s $ można zapisać w postaci ułamka, którego mianownik jest względnie pierwszy z liczbą 6.

Rozwiązanie

Zapiszmy

\[<br /> a={m\over k},\qquad b={n\over k},<br /> \]

gdzie $ m $, $ n $, $ k $ są dodatnimi liczbami całkowitymi oraz $ k $ jest najmniejszym możliwym wspólnym mianownikiem. Wynika stąd w szczególności, że liczby $ m $, $ n $, $ k $ nie mają wspólnego dzielnika większego od 1.

Na mocy warunków zadania otrzymujemy

\[<br /> s=a+b={m+n\over k}=a^2+b^2={m^2+n^2\over k^2},<br /> \]

skąd dostajemy równość

\[<br /> (1) \qquad (m+n)k=m^2+n^2.<br /> \]

Z równości tej wynika, że liczby $ k $ i $ m $ są względnie pierwsze - ich ewentualny wspólny dzielnik pierwszy $ p $ dzieliłby lewą stronę oraz liczbę $ m^2 $, więc mielibyśmy $ p\,|\,n^2 $, lecz płynący stąd wniosek, że $ p $ jest wspólnym dzielnikiem liczb $ k $, $ m $, $ n $, przeczyłby wcześniejszym założeniom. Analogicznie liczby $ k $ i $ n $ są względnie pierwsze.

Ponieważ liczba $ s $ daje się zapisać jako ułamek o mianowniku $ k $, więc wystarczy udowodnić, że liczby $ k $ i 6 są względnie pierwsze.

Przypuśćmy, że $ 2\,|\,k $. Wówczas liczby $ m $ i $ n $ nie są podzielne przez 2, więc ich kwadraty dają resztę 1 z dzielenia przez 4, co daje $ m^2+n^2\equiv 2\mod{4} $. Jest to niemożliwe - lewa strona równości (1) jest podzielna przez 4, gdyż jest iloczynem dwóch parzystych czynników.

Przypuśćmy, że $ 3\,|\,k $. Liczby $ m $ i $ n $ są zatem niepodzielne przez 3; w efekcie ich kwadraty dają resztę 1 z dzielenia przez 3 oraz $ m^2+n^2\equiv 2\mod{3} $. To daje sprzeczność, gdyż lewa strona zależności (1) jest podzielna przez 3.

Dowiedliśmy więc, że $ k $ nie dzieli się przez 2 ani przez 3, skąd teza.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź