XVIII ZMPB - Zadanie 17

Niech $ x $, $ y $, $ z $ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że liczba

\[<br /> {x+1\over y}+{y+1\over z}+{z+1\over x}<br /> \]

jest całkowita. Niech $ d $ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $ x $, $ y $ oraz $ z $. Udowodnić, że

\[<br /> d\le\sqrt[3]{xy+yz+zx}.<br /> \]

Rozwiązanie

Na mocy założeń zadania istnieją takie liczby całkowite $ a $, $ b $, $ c $, że

\[<br /> x=da,\quad y=db,\quad z=dc.<br /> \]

Liczba

\[<br /> \begin{split}<br /> {x+1\over y}+{y+1\over z}+{z+1\over x}&=<br /> {x^2z+y^2x+z^2y+xz+yx+zy\over xyz}=\\<br /> &={d^3(a^2c+b^2a+c^2b)+d^2(ac+cb+ba)\over d^3abc}<br /> \end{split}<br /> \]

jest całkowita, zatem licznik ułamka stojącego po prawej stronie powyższej równości jest liczbą podzielną przez $ d^3 $. Wynika stąd, że liczba $ ac+cb+ba $ jest podzielna przez $ d $. Otrzymujemy więc

\[<br /> d\le ac+cb+ba={xy+yz+zx\over d^2},\qquad\hbox{czyli}\qquad<br /> d^3\le xy+yz+zx,<br /> \]

co jest równoznaczne z tezą zadania.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź