XVIII ZMPB - Zadanie 19

Dane są dodatnie liczby całkowite $ r $ i $ k $. Wszystkie dzielniki pierwsze liczby $ r $ są większe od 50.

Dodatnią liczbę całkowitą, której zapis dziesiętny (bez zer początkowych) ma co najmniej $ k $ cyfr, nazwiemy ładną, jeżeli każdy ciąg $ k $ kolejnych cyfr tego zapisu przedstawia liczbę (być może z zerami początkowymi) podzielną przez $ r $.

Dowieść, że jeżeli istnieje nieskończenie wiele liczb ładnych, to liczba $ 10^k-1 $ też jest ładna.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że istnieje liczba ładna, której zapis dziesiętny składa się z przynajmniej $ 10k+1 $ cyfr. Niech $ c_1 $, $ c_2 $, $ \ldots $, $ c_{10k+1} $ będą początkowymi cyframi tej liczby.

Na podstawie określenia liczby ładnej podzielne przez $ r $ są liczby

\[<br /> \begin{split}<br /> a & =10^{k-1}c_1+10^{k-2}c_2+\ldots+10c_{k-1}+c_k, \cr<br /> b & =10^{k-1}c_2+10^{k-2}c_3+\ldots+10c_k+c_{k+1}.<br /> \end{split}<br /> \]

Wynika stąd, że liczba

\[<br /> 10a-b=10^kc_1-c_{k+1}<br /> \]

także jest podzielna przez $ r $. Przyjmując oznaczenie $ d_i=c_{ik+1} $ ($ i=0,1,\ldots,10 $) dowodzimy analogicznie, iż spełnione są podzielności

\[<br /> r\,|\,10^kd_i-d_{i+1}\qquad\hbox{dla }i=0,1,\ldots,9. (1) \qquad<br /> \]

Ciąg $ d_0 $, $ d_1 $, $ \ldots $, $ d_{10} $ składa się z 11 cyfr, więc pewne dwie cyfry w tym ciągu muszą być równe. Zatem istnieją takie wskaźniki $ 0\le i<j\le 10 $, że cyfry $ d_i $, $ d_{i+1} $, $ \ldots $, $ d_{j-1} $ są parami różne oraz $ d_i=d_j $. Na mocy związków (1) liczba

\[<br /> \begin{split}(10^kd_i & -d_{i+1})+(10^kd_{i+1}-d_{i+2})+\ldots+(10^kd_{j-1}-d_j)= \cr<br /> & =(10^kd_i-d_{i+1})+(10^kd_{i+1}-d_{i+2})+\ldots+(10^kd_{j-1}-d_i)= \cr<br /> & =(10^k-1)(d_i+d_{i+1}+\ldots+d_{j-1})<br /> \end{split}<br /> \]

jest podzielna przez $ r $. Jednakże czynnik $ d_i+d_{i+1}+\ldots+d_{j-1} $ jest sumą różnych cyfr, zatem nie przekracza liczby $ 0+1+2+\ldots+9=45 $ i wobec tego jest względnie pierwszy z liczbą $ r $. W konsekwencji $ 10^k-1 $ jest $ k $-cyfrową liczbą podzielną przez $ r $, skąd wynika teza zadania.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź