XVIII ZMPB - Zadanie 20

Niech $ a $ i $ b $ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że $ b<a $ oraz liczba $ a^3+b^3+ab $ jest podzielna przez $ ab(a-b) $. Udowodnić, że $ ab $ jest sześcianem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

Niech $ d $ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $ a $ i $ b $. Wówczas

\[<br /> a=dk, \qquad b=dl,<br /> \]

gdzie $ k $ i $ l $ są względnie pierwszymi dodatnimi liczbami całkowitymi. Na mocy założeń zadania liczba

\[<br /> {a^3+b^3+ab\over ab(a-b)}=<br /> {(dk)^3+(dl)^3+d^2kl\over d^3kl(k-l)}=<br /> {dk^3+dl^3+kl\over dkl(k-l)}<br /> \]

jest całkowita. Licznik ułamka stojącego po prawej stronie jest więc liczbą podzielną przez $ l $ i wobec tego liczba $ dk^3 $ jest również podzielna przez $ l $. Liczby $ k $ i $ l $ są jednak względnie pierwze, zatem otrzymujemy podzielność $ l\,|\,d $. Analogicznie uzyskujemy $ k\,|\,d $ i korzystając ponownie z względnej pierwszości liczb $ k $ i $ l $ stwierdzamy, że liczba $ d $ jest podzielna przez $ kl $.

Istnieje więc taka dodatnia liczba całkowita $ t $, że $ d=tkl $. Liczba

\[<br /> {a^3+b^3+ab\over ab(a-b)}=<br /> {dk^3+dl^3+kl\over dkl(k-l)}=<br /> {tk^4l+tkl^4+kl\over tkl(k-l)}=<br /> {tk^3+tl^3+1\over t(k-l)}<br /> \]

jest całkowita; w konsekwencji licznik ostatniego ułamka jest liczbą podzielną przez $ t $, co jest możliwe jedynie dla $ t=1 $. Stąd kolejno otrzymujemy: $ d=kl $, $ a=dk=k^2l $ oraz $ b=dl=kl^2 $. W efekcie $ ab=(kl)^3 $ jest sześcianem liczby całkowitej, co kończy rozwiązanie.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź