I MEMO - Zadanie 8

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $ k $, dla których istnieje taka liczba całkowita $ a $, że liczba $ (a+k)^3-a^3 $ jest podzielna przez 2007.

Rozwiązanie

Jeżeli liczba $ (a+k)^3-a^3=3(a^2k+ak^2)+k^3 $ dzieli się przez $ 2007=3\cdot 669 $, to tym bardziej dzieli się przez 3, co może mieć miejsce jedynie wtedy, gdy spełniona jest podzielność $ 3\,|\,k^3 $. Zatem warunkiem koniecznym na to, by dodatnia liczba całkowita $ k $ spełniała warunki zadania, jest podzielność $ 3\,|\,k $.

Wykażemy, iż jest to również warunek dostateczny.

Jeżeli mianowicie $ 3\,|\,k $, to $ k=3m $ dla pewnej liczby całkowitej $ m>0 $; wówczas dla wartości $ a=38m $ liczba

$$\begin{split}(a+k)^3-a^3&=(38m+3m)^3-(38m)^3=\cr &=(41^3-38^3)m^3=14049m^3=2007\cdot 7m^3}$$

jest podzielna przez 2007.

Odpowiedź: Liczba całkowita dodatnia $ k $ spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 3.

Uwaga: Jak dojść do tego, że gdy $ k=3m $, to należy podstawić $ a=38m $, by liczba $ (a+k)^3-a^3 $ była podzielna przez 2007 ?

Rozpatrzmy szczególny przypadek $ m=1 $. Chcemy, aby liczba

\[<br /> (a+3)^3-a^3=9(a^2+3a+3)<br /> \]

była podzielna przez $ 2007=9\cdot 223 $, co jest oczywiście równoważne podzielności $ 223\,|\,a^2+3a+3 $, czyli równości

\[<br /> (1) \qquad a^2+3a+3=223n<br /> \]

dla pewnej liczby całkowitej $ n $. Potraktujmy tę równość jako równanie kwadratowe ze względu na zmienną $ a $ przy danej wartości $ n $. Jeżeli rozwiązanie równania jest liczbą całkowitą, to wyróżnik tego równania, który wynosi $ 3^2-4(3-223n)=892n-3 $, powinien być kwadratem liczby całkowitej. Przy tym liczba $ n $ musi być nieparzysta, gdyż lewa strona równości (1) jest liczbą nieparzystą dla dowolnej liczby całkowitej $ a $.

Obliczając wielkość $ 892n-3 $ kolejno dla liczb $ n=1,3,5,\ldots $ stwierdzamy, że dla $ n=7 $ otrzymujemy kwadrat: $ 892\cdot 7-3=6241=79^2 $. Równanie (1) przybiera wówczas postać $ a^2+3a+3=1561 $ i jego rozwiązaniami są liczby $ a=38 $ oraz $ a=-41 $.

Zatem do liczby $ m=1 $ możemy dobrać wartość $ a=38 $. Mnożąc teraz liczbę $ (38+3)^3-38^3 $ (która jest podzielna przez 2007) przez $ m^3 $ widzimy, że do dowolnej wartości $ m $ można dobrać liczbę $ a=38m $.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź