XLVIII MOM - Zadanie 1

Dane są liczby rzeczywiste $ a_1 $, $ a_2 $, $ \ldots $, $ a_n $. Dla każdego $ i $ ($ 1\le i\le n $) określamy

\[<br /> d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\}<br /> \]

oraz

\[<br /> d=\max\{d_i:1\le i\le n\}.<br /> \]

  1. Dowieść, że dla każdych liczb rzeczywistych $ x_1\le x_2\le\ldots\le x_n $ spełniona jest nierówność

    \[<br /> \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge{d\over 2}.\leqno(*)<br /> \]

  2. Wykazać, że istnieją takie liczby rzeczywiste $ x_1\le x_2\le\ldots\le x_n $, dla których nierówność $ (*) $ staje się równością.

Rozwiązanie

  1. Z określenia liczby $ d $ wynika, że istnieje wskaźnik $ q\in\{1,2,\ldots,n\} $, dla którego $ d=d_q $. Niech ponadto wskaźniki $ p $ i $ r $ ($ 1\le p\le q\le r\le n $) spełniają warunki

    \[<br /> a_p=\max\{a_j:1\le j\le q\},\qquad a_r=\min\{a_j:q\le j\le n\}.<br /> \]

    Wówczas prawdziwa jest równość $ d=a_p-a_r $.

    Jeżeli teraz $ x_1\le x_2\le\ldots\le x_n $ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to na mocy nierówności $ x_r-x_p\ge 0 $ otrzymujemy

    \[<br /> (a_p-x_p)+(x_r-a_r)=(a_p-a_r)+(x_r-x_p)\ge a_p-a_r=d.<br /> \]

    Wynika stąd, że przynajmniej jedna z liczb $ a_p-x_p $, $ x_r-a_r $ jest nie mniejsza niż $ d/2 $. Tym bardziej jedna z liczb $ |x_p-a_p| $, $ |x_r-a_r| $ jest nie mniejsza niż $ d/2 $ i w konsekwencji uzyskujemy

    \[<br /> \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge\max\{|x_p-a_p|,|x_r-a_r|\}\ge{d\over 2},<br /> \]

    co dowodzi tezy punktu (a).

  2. Wykażemy, że żądane własności mają następujące liczby:

    \[<br /> x_1=a_1-{d\over 2} \qquad\hbox{oraz}\qquad x_k=\max\Bigl\{x_{k-1},a_k-{d\over 2}\Bigr\}\quad\hbox{dla }k=2,3,\ldots,n.<br /> \]

    Z powyższego określenia wynika, że dla $ k=2,3,\ldots,n $ zachodzi nierówność $ x_{k-1}\le x_k $; otrzymujemy stąd ciąg nierówności $ x_1\le x_2\le\ldots\le x_n $. Również na mocy tego określenia uzyskujemy

    \[<br /> x_k-a_k\ge-{d\over 2}\qquad\hbox{dla }k=1,2,\ldots,n.<br /> \]

    Ustalmy teraz wskaźnik $ k\in\{1,2,\ldots,n\} $ oraz niech $ m $ będzie najmniejszym takim wskaźnikiem, że $ x_m=x_k $. Wówczas jeśli $ m>1 $, to prawdziwa jest nierówność $ x_m>x_{m-1} $, co oznacza, że

    \[<br /> x_k=x_m=a_m-{d\over 2}.<br /> \]

    Jest jasne, że powyższa równość ma miejsce także w przypadku, gdy $ m=1 $. Możemy zatem napisać

    \[<br /> a_m-a_k\le \max\{a_j:1\le j\le k\}-\min\{a_j:k\le j\le n\}= d_k\le d,<br /> \]

    skąd wnioskujemy, że

    \[<br /> x_k-a_k=(x_k-a_m)+(a_m-a_k)=-{d\over 2}+(a_m-a_k)\le{d\over 2}.<br /> \]

    Udowodniliśmy w ten sposób, iż

    \[<br /> -{d\over 2}\le x_k-a_k\le {d\over 2}\qquad\hbox{dla }k=1,2,\ldots,n,<br /> \]

    czyli

    \[<br /> \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\le{d\over 2}.<br /> \]

    Ponieważ jednak $ |x_1-a_1|=d/2 $, więc w powyższej nierówności ma miejsce równość. To kończy rozwiązanie części (b).

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź