L MOM - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ zachodzi równość $ AB=AC $. Dwusieczne kątów $ CAB $ oraz $ ABC $ przecinają jego boki $ BC $ oraz $ AC $ odpowiednio w punktach $ D $ i $ E $. Punkt $ K $ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ ADC $. Załóżmy ponadto, że $ \measuredangle BEK=45^\circ $. Wyznaczyć możliwe wartości $ \measuredangle CAB $.

Rozwiązanie

Pokażemy, że jedynymi możliwymi wartościami $ \measuredangle CAB $ są wartości $ 60^\circ $ oraz $ 90^\circ $.

Niech $ I $ będzie punktem przecięcia prostych $ AD $ oraz $ BE $. Ponieważ proste te zawierają dwusieczne kątów wewnętrznych $ CAB $ i $ ABC $ trójkąta $ ABC $, więc $ I $ jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Niech ponadto $ G $ będzie punktem symetrycznym do punktu $ E $ względem prostej $ IC $. Ponieważ półprosta $ CI^\to $ jest dwusieczną kąta $ BCA $, więc punkt $ G $ leży na prostej $ BC $. Punkty $ D $ i $ G $ leżą po tej samej stronie prostej $ IC $, gdyż oba leżą po przeciwnej jej stronie, niż punkt $ E $.

Jeśli $ G=D $, wówczas $ \measuredangle IEC=\measuredangle IDC=90^\circ $, czyli dwusieczna kąta $ ABC $ jest prostopadła do boku $ AC $ trójkąta $ ABC $. Wynika stąd, że $ BC=BA $, zatem trójkąt $ ABC $ jest trójkątem równobocznym i $ \measuredangle CAB=60^\circ $.

mom50_r_img_2.jpg

Jeśli $ G\neq D $, wówczas $ \measuredangle IGK=\measuredangle IEK=45^\circ=\measuredangle IDK $. Wynika stąd, że punkty $ I $, $ D $, $ G $ oraz $ K $ leżą na jednym okręgu. Prowadzi to do następujących równości:

\[<br /> \begin{split}<br /> \measuredangle EIK&=\measuredangle GIK=\measuredangle GDK=45^\circ,\quad\text{gdy }G\in DC^\to\\<br /> \text{lub }\measuredangle EIK&=\measuredangle GIK=180^\circ-\measuredangle GDK=45^\circ,\quad\text{gdy }G\in DB^\to\\<br /> \measuredangle BIC&=180^\circ-\measuredangle EIK=135^\circ\\<br /> \measuredangle CAB&=180^\circ-(\measuredangle ABC+\measuredangle BCA)=180^\circ-2(\measuredangle IBC+\measuredangle BCI)=\\<br /> &=180^\circ-2(180^\circ-\measuredangle BIC)=180^\circ-2(180^\circ-135^\circ)=90^\circ<br /> \end{split}<br /> \]

mom50_r_img_3.jpg

Pozostaje sprawdzić, że jeśli $ \measuredangle CAB=60^\circ $ lub $ \measuredangle CAB=90^\circ $, to $ \measuredangle BEK=45^\circ $.

Gdy $ \measuredangle CAB=60^\circ $, wówczas trójkąt $ ABC $ jest trójkątem równobocznym i wtedy $ D=G $, a stąd $ \measuredangle BEK=\measuredangle IGK=\measuredangle IDK=45^\circ $.

Jeśli natomiast $ \measuredangle CAB=90^\circ $, wówczas

\[<br /> \begin{split}<br /> \measuredangle ABC&=\measuredangle BCA=45^\circ,\\<br /> \measuredangle KIE&=\measuredangle IBC+\measuredangle BCI=\tfrac12\measuredangle ABC+\tfrac12\measuredangle BCA=45^\circ,\\<br /> \measuredangle IEA&=\measuredangle BEA=180^\circ-\measuredangle EAB-\measuredangle ABE=\\&=180^\circ-90^\circ-\tfrac12\measuredangle ABC=90^\circ-22,5^\circ=67,5^\circ,\\<br /> \measuredangle AIE&=180^\circ-\measuredangle IEA-\measuredangle EAI=180^\circ-67,5^\circ-\tfrac12\measuredangle CAB=\\&=112,5^\circ-45^\circ=67,5^\circ.<br /> \end{split}<br /> \]

Ponieważ $ \measuredangle IEA=67,5^\circ=\measuredangle AIE $, więc trójkąt $ EAI $ jest trójkątem równoramiennym i dwusieczna kąta $ EAI $ jest zawarta w symetralnej boku $ EI $ tego trójkąta. Ponieważ zaś punkt $ K $ leży na dwusiecznej kąta $ EAI $, więc leży też na symetralnej odcinka $ EI $ i mamy $ KE=KI $. Wynika stąd, że trójkąt $ IKE $ jest równoramienny i $ \measuredangle BEK=\measuredangle IEK=\measuredangle KIE=45^\circ $.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź